Задача

Пропоную розв’язати задачу, що складена “за мотивами” тієї, яка була запропонована на ІІІ етапі І туру Всеукраїнської олімпіади з математики в 10 класі.

На сторонах \(AB\) та \(AD\) квадрата \(ABCD\) обрані точки \(N\) та \(P\) відповідно таким чином, що \(PN=NC\), а \(Q\) – точка на відрізку \(AN\), для якої  \(\angle{NCB}=\angle QPN\). Чи завжди \(\angle PCQ=45^{\circ}\)?

 

 

Поділитися в соціальних мережах

1 коментар до “Задача

  1. По-перше \(\angle NCP=\angle NPC \) тому, що \( NP=NC \). Також відомо, що \( \angle NCB=\angle QPN \). Додавши ці рівності, маємо \( \angle BCP=\angle QPC \).
    Сторону квадрата позначимо як одиничний відрізок. Нехай \( x=\angle PCD \). Тоді \( PD=\tan x=t \), и \( \angle BCP=\angle QPC=90^{\circ}-x=\angle CPD \). Маємо, \( \angle APQ=2x \). Далі \( AP=1-t \) і \( AQ=(1-t)\tan2x=(1-t)\frac{2t}{1-t^2}=\frac{2t}{1+t} \). Тобто, \( BQ=1-AQ=\frac{1-t}{1+t} \), що дорівнює \( \tan(45^{\circ}-x) \) за формулою тангенса різниці.
    \( \angle BCQ=45^{\circ}-x \). Тоді кут \( PCQ = 90^{\circ}-(45^{\circ}-x)-x \).

Залишити відповідь

Ваша e-mail адреса не оприлюднюватиметься. Обов’язкові поля позначені *